音律心得


      原对音乐一窍不通,最近对古琴感兴趣起,开始学习乐理,偶有心得,就写了下来,想把繁复的理论整理出一些简单的纲目来,与和我一样的朋友共赏,同时就正于行家。

      声音
      谈到音律,现要说说人耳听觉的一些特点,人能够听到的声音频率极限是16--20000赫兹,其中敏感的声音频率在1000-3000赫兹。一般人能够发出的声音频率是最大范围是64--1300赫兹,一架钢琴上发出的声音在27.5-4096赫兹(基频)。 人耳对声音敏感的是其频率的比值,而不是绝对频率,比如100赫兹的声音与200赫兹的声音听起来大不相同,可1100赫兹的声音与1200赫兹的声音听起来区别不大,对声律的研究是以这点为出发的。研究音律常用到的数学工具是对数,如果几个数字间的比例相等,往往不易直接看出,如果计算它们以同一个数为地的对数,那这几个数字的差是相等的,比较一目了然。音律上一般计算一个音和基准音频率比的以2为底的对数,这样频比的对数是1的两个音频率差一倍,也就是一个八度,是2的两个音差2个八度。因为以2为底的对数计算出来常常是小数,使用不便,所以把对数值乘以1200并取整,这样得到的值就叫“音分”,一个八度合1200音分。例如第一个音是261.63赫兹,第二个293.66赫兹,第三个329.63赫兹,后两个对第一个的音分分别是:(log(293.66/261.63)/log2)*1200=200和(log(329.63/261.63)/log2)*1200=400,很容易看出三者两两之比相同。

      律制
      律制就是解决以何种规律制定一套标准来刻画、记录音乐的问题。常见律制有十二平均律、纯律和五度相生律,这三种律制实际是规定如何在一个长是8度(2倍频率)的尺子上打刻度,以用来度量声音的不同解决方法。五度相生率和纯率都是按照实际操作的2倍频率、3倍频率和5倍频率来打刻度的,打出来的是一种不平均的刻度,而十二平均律则是用对数计算出来的一种人为但均匀的刻度。如果以整个尺子长1200音分计,五度相生律的尺子上7个刻度间隔分别是204,204,90,204,204,204,90;纯率尺子上7个刻度间隔分别是204,182,112,204,182,204,112;十二平均律的尺子上7个刻度间隔分别是200,200,100,200,200,200,100。同一个音用不同的尺子去量,就可能落在不同的刻度上,换句话说,如果我有一张纸上写着"1,4,5,2"这几个音(乐谱),我用不同的尺子来实际画(唱)出来,就会有不同的点(声音),这就是几种律制的实际区别.不同律制下各音级的位置和间隔如下(单位是音分)
音级            1        2        3    4        5        6        7    8
五度相生律音位   0        204     408   498     702       906      1110 1200
五度相生律音距       204      204    90     204      204      204      90    
纯率音位        0        204     386   498     702       884      1088 1200
纯率音距            204      182    112    204      182      204      112
十二平均律音位   0        200     400   500     700       900      1100 1200
十二平均律音距       200      200    100    200      200      200      100
      这个尺子记录的是声音频率的比值,所以你可以把尺子的起点定在任意高度,不论从300赫兹还是400赫兹起,听着都还像那首歌。可是如果你想跟朋友合唱,那你俩尺子起点最好选同一个点,否则同一个音符,在你俩这里就是两个音儿。
      对于绝对高度,也有一种标记方法,给各个频率起名字,叫做C2,D2,E2,F2,G2,A2,B2,C1,D1,E1,F1,G1,A1,B1,C,D,E,F,G,A,B,c,d,e,f,g,a,b,c1,d1,e1,f1,g1,a1,b1,c2,d2,e2,f2,g2,a2,b2,c3,d3,e3,f3,g3,a3,b3,c4,d4,e4,f4,g4,a4,b4...,规则是按照十二平均率的办法确定各个音的频率比值(间隔),既不分大小写,同一级别的d:c=2K,e:d=2K,f:e=K,g:f=2K,a:g=2K,b:a=2K,下一级别的c:a=K,其中K是2的12次平方根。这些音组成了一个空档间隔不同的梯子,每相邻级别的A(或B或C等等)的频率差正好是2倍,最后把a1的频率钉在440赫兹上(国际第一高度定义)。这样就有了度量绝对音高的一个尺度。

     三分损益律
     三分损益律是中国古代使用的主要律法,它实际是五度相生律的一种形式。 三分损益法的定律方法是:先选一段震动体(后面以弦为例)认为它的声音称作“宫”,把它的长度依次乘以4/3和2/3来得到不同长度的弦,这些弦震动的声音就依次称作徴、商、羽、角。假设宫的弦长是81,计算出各音的弦长就分别是:(宫81)  *4/3-> (徴108) *2/3->  (商72) *4/3->  (羽96) *2/3-> (角64),把这几个音弦长按顺序排列就是:(徴108)(羽96)(宫81)(商72)(角64).大家知道,材质、粗细、张力等条件都相同时,弦音的频率和长短成反比,越短声音越高,依此可以计算各音间的差距,如羽对徴=(log(108/96)/log2)*1200=204音分,宫对羽=(log(96/81)/log2)*1200=294...,这就得出了前面说过的五度相生律的律差。为什么又叫五度相生律呢,因为长度比是2/3的两弦频率比是3/2,合702音分,西洋音乐中把这个差距叫做纯5度,长度比4/3的弦频率比是(3/2)/2,相当于长了一个纯五度,又往下拉了一个八度(倍频),所以三分损益法的实质是从一个音开始,上纯五度下拉八度定一个刻度,然后再上纯五度定一个刻度,再上纯五度下拉八度定一个刻度...
  
生律过程(假定宫的长度是81):
顺序     1     2     3     4     5
音级     宫 -> 徴 -> 商 -> 羽 -> 角
长度乘数   *4/3  *2/3  *4/3  *2/3
各音长度 81   108    72    96    64

把各音长度依次排列,并按长度比换算出声音比例的音分值得到:
音级     徵        羽            宫      商        角           清徵
各音长度 108       96            81      72        64          
音位     0        204           498     702       906           1200
音距         204          294       204      204           294      


     十二律吕  
     按照“三分损益律”再往下推算,可以得到十二律,在《吕氏春秋·仲夏纪·音律篇》中有着详细的记载:“黄钟生林钟,林钟生太蔟,太族生南吕,南吕生姑洗,姑 洗生应钟,应钟生蕤宾,蕤宾生大吕,大吕生夷则,夷则生夹 钟,夹钟生无射,无射生仲吕。三分所生,益之一分以上生; 三分所生,去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、 仲吕、蕤宾为上,林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”也就是黄钟弦长*2/3得出林钟的弦长,林钟乘4/3得到太蔟的弦长,然后再乘2/3。。。但到蕤宾生大吕那里,按顺序该乘2/3,但改为4/3,后面也依次改,就像7月是大月,8月本改小月可改成了大月,后面的大小月也都变一样. 将得到的十二律按弦长顺序排好之后是黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑冼、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟,可以计算出他们之间的音分差距分别是114、90、114、90、114、90、90、114、90、114、90。因为是每隔八位生一律,所以这种生律方法叫做“隔八相生法”,十二律中奇数律为阳律,又叫做六律,偶数律为阴律,又叫做六吕,平常我们经常听说的“十二律吕”也就是指这个。十二律各高一个八度(或频率高一倍或弦长短一半)的音分别称作"清黄钟"、"清大吕"...;十二律各低一个八度的音分别称作“变黄钟”、"变大吕"...。黄钟在一定的时期会选定一个比较固定的频率,所以这十二律吕就确定了一套绝对音高的度量体系。
生律过程(假定黄钟的长度是177147,即3的11次方,这样其他各律对应的长度都可以是整数):
1       2      3       4      5      6     7      8      9      10     11    12     13
黄钟    林钟   太蔟    南吕   姑洗   应钟  蕤宾   大吕   夷则   夹钟   无射  仲吕   清黄钟
    *2/3    *4/3   *2/3    *4/3   *2/3  *4/3   *4/3  *2/3  *4/3    *2/3   *4/3  *2/3
177147  118098 157464  104976 139968 93312 124416 165888 110592 147456 98304 131072 87381.33

把各音长度依次排列得到:
音名 黄钟   大吕   太蔟   夹钟   姑洗   仲吕   蕤宾   林钟   夷则   南吕   无射   应钟   清黄钟
长度 177147 165888 157464 147456 139968 131072 124416 118098 110592 104976 098304 093312 087381.33
音位  0     114    204    318    408    522    612    702    816    906    1020   1110
音距    114     90    114     90    114     90     90     114    90     114     90
音位音距以音分为单位

    “三分损益律”所定音律有个缺陷,就是生率顺序的最后一位仲吕如果按规律再生一律,那么得到的并不是清黄宫(黄宫弦长一半),而是0.493倍,差了23.5音分。也就是说,黄钟音还不了原,如果不在11次上停下来,继续下去可以生出无数多的音来。关于黄钟音归位的问题一直困绕着中国古代音乐家。直到明代,才由朱载堉在世界音律史上首次建立十二平均律的数理理论,即采用2的12次方根作为生律的倍数,使得黄钟音终于能够顺利的“归位”。


     泛音
     一根拉紧的琴弦在发生时,不但有整根弦作为波长的震动,而且同时存在着分别以弦长的1/2、1/3、1/4、1/5...为波长的震动,这些震动发出的声音频率依次是基频、基频的2倍、基频的3倍...,这些倍频音统称泛音。由于基频音的振幅最大,所以它的响度最大,其他倍频的音响度依次减少。各种乐器的震动发声都有泛音存在,基音的泛音数目和相对强度就决定乐器的音色。
     琴弦的二倍频泛音震动的特点是整弦上有两个波长,整弦长1/2处是震动的节点,这里二倍频泛音的震幅为0,而这个节点确正是基频震动的波腹,振幅最大,如果用手指肚轻触这个节点,会限制它的震动,基频被抑制,就能听到清晰的倍频声音。同样如果在3倍频音、5倍频音的节点出处抑制振幅,就听到到3、5倍频音,只是音量比基音要小,这就是泛音演奏的原理。
     古琴的徽位就是弦上部分泛音节点的标记。各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8,位置的分母数就是基频的频率被数,比如泛十一徽发音是散弦的5倍高。


     琴律
     古琴定弦的方法有多种,现在来分别分析:
     定弦法一:    
     使用泛音定弦:
     七弦七徽泛音应与四弦九徽泛音等高。
     四弦十徽泛音应与六弦九徽泛音等高。
     六弦七徽泛音应与三弦九徽泛音等高。
     三弦十一徽泛音应与五弦十徽泛音等高。
     五弦七徽泛音应与二弦九徽泛音等高。
     四弦七徽泛音应与一弦九徽泛音等高。
     一弦七徽泛音应与六弦散音等高。
     二弦七徽泛音应与七弦散音等高。
     古琴各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8,某弦的散音就是它基频的音,各徽位泛音就是各徽位位置分母数的倍频音,例如十徽泛音就是散音的4倍频。这样“七弦七徽泛音应与四弦九徽泛音等高”实际就是七弦散音高的2倍与四弦散音高的3倍相等.把上面的文字可以改写成函数组如下,
     2七=3四
     4四=3六
     2六=3三
     5三=4五
     2五=3二
     2四=3一
     2一=1六
     2二=1七*
     如果把一弦频率定为1,则各弦频率可以计算出来分别是:一1、二10/9、三4/3、四3/2、五5/3、六2、七9/4,各音相对1弦的音分值分别是:182、498、702、884、1200、1404,相临两弦间相对音分是:182、316、204、182、316、204,可以明显看出,这种定弦方法是按照纯律定弦。定弦法中“二弦七徽泛音应与七弦散音等高”实际是近似值,两者还差22音分。
下面的图是以五弦=A为准,计算十二平均律C、D、E、F、G、A、B、c、d各音与A的距离(音分),和各弦音与五弦距离:  
    C        D        E    F        G        A        B    c        d  
   -900    -700     -500 -400     -200       0       200  300      500

    -884   -702           -386     -182      0            316      520
     一     二              三       四       五            六       七
可见一、二、三、四、五、六、七分别等于C(加16音分)、D(减2音分)、F(加14音分)、A、c(加16音分)、d(加20音分)

     定弦法二:
     正调(F调)的调弦法。调好以后七条弦从一弦(宫弦)至七弦(武弦)的散音是5、6、1、2、3、5、6  (1=F)。
     第一、要准备一个标准音A的音哨(或音*)。
     第二、在吹音哨A的同时大指七徽勾五弦(按音),使大七勾五和音哨的发音两音取同高。
     第三、现在就可以用泛音调弦了,我们先用名指五徽泛挑七弦,再迅速用食指四徽泛勾五弦,使两弦泛音取同高。因为五弦是和标准音哨A校准过的,所以七弦应以五弦为标准。如七弦不准调七弦(不要再动五弦了)。
     第四、现在七弦和五弦都调准了。我们就可以拿七弦来调四弦了。方法是这样的:大指七徽泛挑七弦得音后迅速名指九徽泛勾四弦。使两弦泛音同高。同理七弦已调准,所以两弦不同高时调动四弦。
     第五、现在七、五、四三条弦都已调好了。我们拿四弦来调六弦,名指五徽泛挑六,食指四徽泛勾四弦,使两弦同高。同理,四弦已调准,如六弦不准,调六弦。
     第六、现在四、五、六、七四弦皆准了。我们就可以拿六弦来调三弦了。大指七徽泛挑六弦得音后迅速名指九徽泛勾三弦,使两弦取同高。如果三弦不准就可以以六弦为基准调三弦了。
     第七、大指七徽泛挑五弦得音后迅速名指九徽泛勾二弦。使两弦取同高。如二弦不准就可以以五弦为基准调二弦了。
     第八、最后我们拿四弦来调准一弦。方法是:大指七徽泛挑四弦得音后迅速名指九徽泛勾一弦。使两弦同高,以四弦为基准调一弦。
至此,七条弦都已调准。
也把上面的文字也写成公式:
2五=A
3七=4五
2七=3四
3六=4四
2六=3三
2五=3二
2四=3一
如果把一弦频率定为1,则各弦频率可以计算出来分别是:一1、二9/8、三4/3、四3/2、五27/16、六2、七9/4。各音相对1弦的音分值分别是:204、498、702、906、1200、1404,相临两弦间相对音分是:204、294、204、204、294、204,可以看出,这种定弦方法是按照五度相生(三分损益)律定弦。
下面的图是以五弦=A为准,计算十二平均律C、D、E、F、G、A、B、c、d各音与A的距离(音分),和各弦音与五弦距离:  
    C        D        E    F        G        A        B    c        d  
   -900    -700     -500 -400     -200       0       200  300      500

   -906    -702          -408     -204       0            294      498
     一     二              三       四       五            六       七
可见一、二、三、四、五、六、七分别等于C(减6音分)、D(减2音分)、F(减8音分)、A、c(减6音分)、d(减2音分)


定弦法三:
    按音定弦
    七弦散音应与四弦九徽按音等高。
    六弦散音应与四弦十徽按音等高。
    五弦散音应与三弦十徽八分按音等高。
    四弦散音应与二弦十徽按音等高。
    三弦散音应与一弦十徽按音等高。
    二弦七徽按音应与七弦散音等高。
    一弦七徽按音应与六弦散音等高。
    七弦九徽按音应与五弦七徽按音等高。
    六弦十徽按音应与三弦散音等高。
    五弦十徽按音应与七弦散音等高。
    古琴各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8,由于弦的长度与频率成反比,所以“七弦散音与四弦九徽按音等高”的含义就是七散音频率与四弦散音频率的3/2倍等高.把上面的文字改写成等式组如下:
1)    1七=3/2四
2)    1六=4/3四
3)    1五=三弦十徽八分
4)    1四=4/3二
5)    1三=4/3一
6)    2二=1七
7)    2一=1六
8)    3/2七=2五
9)    4/3六=1三
10)   4/3五=1七
     如果把一弦频率定为1,则各弦频率可以计算出来分别是:一1、二9/8、三4/3、四3/2、五27/16、六2、七9/4。各音相对1弦的音分值分别是:204、498、702、906、1200、1404,相临两弦间相对音分是:204、294、204、204、294、204,可以看出,这种定弦方法与定弦法二是相同的.